1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax + by = c (1), trong đó a, b và c là các số đã biết (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0).
Khái niệm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Nếu tại x = x0 và y = y0 ta có ax0 + by0 = c là một khẳng định đúng thì cặp số (x0; y0) được gọi là một nghiệm của phương trình (1).
Chú ý: Một phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm.
Ví dụ 1. Các phương trình x = 1; 2y = –3; x – 2y = 3 là các phương trình bậc nhất hai ẩn x, y.
Phương trình 0x + 0y = 1 không là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ 2. Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của phương trình x – 2y = 3?
a) (1; 2);
b) (–1; –2);
c) (3; 0).
Hướng dẫn giải
⦁ Thay x = 1 và y = 2, ta có: 1 – 2.2 = –3 ≠ 3.
Vậy (1; 2) không là nghiệm của phương trình đã cho.
⦁ Thay x = –1 và y = –2, ta có: –1 – 2.(–2) = 3.
Vậy (–1; –2) là một nghiệm của phương trình đã cho.
⦁ Thay x = 3 và y = 0, ta có: 3 – 2.0 = 3.
Vậy (3; 0) là một nghiệm của phương trình đã cho.
Nhận xét: Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c là một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là đường thẳng ax + by = c.
Ví dụ 3. Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
a) x + 0y = 1.
b) 0x + y = –1.
c) x – 2y = 3.
Hướng dẫn giải:
a) Xét phương trình x + 0y = 1. (1)
Ta viết gọn (1) thành x = 1. Phương trình này có nghiệm là (1; y) với y ∈ ℝ tùy ý.
Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm (1; 0). Ta gọi đó là đường thẳng d1: x = 1 (hình a).
b) Xét phương trình 0x + y = –1. (2)
Ta viết gọn (2) thành y = –1. Phương trình này có nghiệm là (x; –1) với x ∈ ℝ tùy ý.
Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0; –1). Ta gọi đó là đường thẳng d2: y = –1 (hình b).
c) Xét phương trình x – 2y = 3. (3)
Ta viết (3) dưới dạng y=12x−32. Mỗi cặp số (x;12x−32) với x ∈ ℝ tùy ý, là một nghiệm của (3). Khi đó ta nói phương trình (3) có nghiệm tổng quát là (x;12x−32) với x ∈ ℝ tùy ý.
Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng y=12x−32. Ta cũng gọi đường thẳng này là đường thẳng d3: x – 2y = 3.
Để vẽ đường thẳng đó, ta chỉ cần xác định hai điểm tùy ý của nó, chẳng hạn (0;−32) và (3; 0), rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó (hình c).
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c’ được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng: {ax+by=ca′x+b′y=c′.(*)
Ví dụ 4. Trong các hệ phương trình sau, hệ nào không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn? Vì sao?
a) {√2x+y=1y=2.
b) {x+y=−10x+0y=2.
c){x−2y=3−4x+5y=−6.
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình {x+y=−10x+0y=2không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vì phương trình thứ hai của hệ là 0x + 0y = 2 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Khái niệm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Mỗi cặp số (x0; y0) được gọi là một nghiệm của hệ (*) nếu nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ (*).
Lưu ý: Mỗi nghiệm của hệ (*) chính là một nghiệm chung của hai phương trình của hệ (*).
Chú ý: Cặp số (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình (*) có nghĩa là điểm có tọa độ (x0; y0) vừa thuộc đường thẳng ax + by = c, vừa thuộc đường thẳng a’x + b’y = c’. Vậy điểm có tọa độ (x0; y0) là giao điểm của hai đường thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’.
Ví dụ 5. Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: {x−y=2010x−7y=24.
Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho?
a) (0; –20);
b) (−1163;−1763).
Hướng dẫn giải
a) Ta thấy khi x = 0 và y = –20 thì:
0 – (–20) = 20 nên (0; –20) là nghiệm của phương trình thứ nhất;
10.0 – 7.(–20) = 140 ≠ 24 nên (0; –20) không là nghiệm của phương trình thứ hai.
Do đó cặp số (0; –20) không là nghiệm chung của hai phương trình trong hệ.
Vậy cặp số (0; –20) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
b) Ta thấy khi x=−1163 và y=−1763 thì:
−1163–(–1763)=20 nên (−1163;−1763) là nghiệm của phương trình thứ nhất;
10⋅(−1163)–7⋅(–1763)=24 nên (−1163;−1763) là nghiệm của phương trình thứ hai.
Suy ra cặp số (−1163;−1763) là nghiệm chung của hai phương trình trong hệ.
Vậy cặp số (−1163;−1763) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
