1. Độ dài của cung tròn

Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

Đối với đường tròn $(O; R)$(O;R), đường kính $d = 2R$d=2R, ta có:$$C = \pi d = 2\pi R$$C=πd=2πR

---

Công thức tính độ dài cung tròn

Độ dài $l$l của một cung tròn có số đo $n^\circ$n∘ trên đường tròn bán kính $R$R:$$l = \frac{n}{180} \pi R$$l=180n​πR

Quan hệ tỉ lệ

Tỉ số giữa độ dài cung $n^\circ$n∘ và chu vi đường tròn cùng bán kính:$$\frac{l}{C} = \frac{n}{360}$$Cl​=360n​

---

Ví dụ

Đường tròn $(O; 2\text{ cm})$(O;2 cm), với góc ở tâm:$$\widehat{AOB} = 60^\circ$$AOB=60∘

Cung nhỏ AB

• Số đo cung nhỏ AB bằng $60^\circ$60∘.
• Độ dài cung nhỏ:

$$l_1 = \frac{60}{180} \pi \cdot 2 = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}1\ \text{cm}$$l1​=18060​π⋅2=32π​≈2,1 cm

Cung lớn AnB

$$\text{sđ cung lớn} = 360^\circ – 60^\circ = 300^\circ$$sđ cung lớn=360∘−60∘=300∘

Độ dài cung lớn:$$l_2 = \frac{300}{180}\pi \cdot 2 = \frac{10\pi}{3} \approx 10{,}5\ \text{cm}$$l2​=180300​π⋅2=310π​≈10,5 cm

---

2. Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Khái niệm hình quạt tròn

Hình quạt tròn là phần hình tròn được giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung đó.

---

Khái niệm hình vành khuyên

Hình vành khuyên (hay hình vành khăn) là phần nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính $R$R và $r$r (với $R > r$R>r).

---

Diện tích hình quạt tròn

Hình quạt tròn bán kính $R$R, ứng với cung $n^\circ$n∘, có diện tích:$$S_q = \frac{n}{360} \pi R^2$$Sq​=360n​πR2

Cũng có thể tính theo độ dài cung:$$S_q = l \cdot \frac{R}{2}$$Sq​=l⋅2R​

---

Diện tích hình vành khuyên

Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm bán kính $R$R và $r$r:$$S_v = \pi (R^2 – r^2)$$Sv​=π(R2−r2)

---

Tỉ số diện tích – tỉ số cung

Tỉ số giữa diện tích hình quạt tròn ứng với cung $n^\circ$n∘ và diện tích hình tròn cùng bán kính:$$\frac{S_q}{\pi R^2} = \frac{n}{360}$$πR2Sq​​=360n​

Tỉ số này bằng tỉ số giữa độ dài cung và độ dài đường tròn.

---

Ví dụ

1. Diện tích hình quạt tròn

Độ dài cung: $l = 4\pi$l=4π cm
Bán kính: $R = 5$R=5 cm$$S_q = l \cdot \frac{R}{2} = 4\pi \cdot \frac{5}{2} = 10\pi\ \text{cm}^2$$Sq​=l⋅2R​=4π⋅25​=10π cm2

---

2. Diện tích hình vành khuyên

Hai đường tròn đồng tâm, bán kính $5\text{ m}$5 m và $3\text{ m}$3 m:$$S_v = \pi (5^2 – 3^2) = \pi (25 – 9) = 16\pi\ \text{m}^2$$Sv​=π(52−32)=π(25−9)=16π m2