1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn (gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:$$ax^2 + bx + c = 0$$ax2+bx+c=0

Trong đó:

• $x$x là ẩn,
• $a, b, c$a,b,c là các hệ số đã cho trước,
• và a≠0a \ne 0a=0.

Ví dụ:

1. $2x^2 – 3x + 1 = 0$2×2−3x+1=0
   là phương trình bậc hai với
   $a = 2,\ b = -3,\ c = 1$a=2, b=−3, c=1.
2. $x^2 – 3 = 0$x2−3=0
   là phương trình bậc hai với
   $a = 1,\ b = 0,\ c = -3$a=1, b=0, c=−3.
3. $0x^2 – 2x – 3 = 0$0x2−2x−3=0
   không phải phương trình bậc hai vì $a = 0$a=0.

---

2. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn – dạng đặc biệt

a) Phương trình bậc hai khuyết số hạng tự do

Dạng:$$ax^2 + bx = 0 \qquad (a \ne 0,\ c = 0)$$ax2+bx=0(a=0, c=0)

Ta đặt nhân tử chung:$$ax^2 + bx = x(ax + b) = 0$$ax2+bx=x(ax+b)=0

Suy ra:$$x = 0 \quad \text{hoặc} \quad ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$$x=0hoặcax+b=0⇒x=−ab​

Ví dụ:
Giải $2x^2 – 4x = 0$2×2−4x=0$$2x(x – 2) = 0$$2x(x−2)=0

Vậy:$$x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2$$x=0hoặcx=2

---

b) Phương trình bậc hai khuyết số hạng bậc nhất

Dạng:$$ax^2 + c = 0 \qquad (a \ne 0,\ b = 0)$$ax2+c=0(a=0, b=0) $$x^2 = -\frac{c}{a}$$x2=−ac​

• Nếu $-\frac{c}{a} < 0$−ac​<0: phương trình vô nghiệm.
• Nếu $-\frac{c}{a} = 0$−ac​=0: $x = 0$x=0.
• Nếu $-\frac{c}{a} > 0$−ac​>0: $$x = \sqrt{-\frac{c}{a}} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{-\frac{c}{a}}$$x=−ac​​hoặcx=−−ac​​

Ví dụ 1:
Giải $x^2 – 9 = 0$x2−9=0$$x^2 = 9 \Rightarrow x = 3 \text{ hoặc } x = -3$$x2=9⇒x=3 hoặc x=−3

Ví dụ 2:
Giải $(x + 1)^2 = 3$(x+1)2=3$$x + 1 = \sqrt{3} \text{ hoặc } x + 1 = -\sqrt{3}$$x+1=3​ hoặc x+1=−3​ $$x = -1 + \sqrt{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -1 – \sqrt{3}$$x=−1+3​hoặcx=−1−3​

---

c) Phương trình dạng x2+bx=cx^2 + bx = cx2+bx=c

Ta thêm vào hai vế một số thích hợp để đưa về bình phương:

Ví dụ: Giải$$x^2 – 4x = 1$$x2−4x=1

Ta có:$$x^2 – 4x + 4 = 1 + 4$$x2−4x+4=1+4 $$(x – 2)^2 = 9$$(x−2)2=9 $$x – 2 = 3 \text{ hoặc } x – 2 = -3$$x−2=3 hoặc x−2=−3 $$x = 5 \text{ hoặc } x = -1$$x=5 hoặc x=−1

---

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình:$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \ne 0)$$ax2+bx+c=0(a=0)

Tính biệt thức:$$\Delta = b^2 – 4ac$$Δ=b2−4ac

• Nếu $\Delta > 0$Δ>0: phương trình có hai nghiệm phân biệt

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}$$x1​=2a−b+Δ​​,x2​=2a−b−Δ​​

• Nếu $\Delta = 0$Δ=0: phương trình có nghiệm kép

$$x = \frac{-b}{2a}$$x=2a−b​

• Nếu $\Delta < 0$Δ<0: phương trình vô nghiệm.

Ví dụ:
Giải $x^2 – 7x – 8 = 0$x2−7x−8=0$$a = 1,\ b = -7,\ c = -8$$a=1, b=−7, c=−8 $$\Delta = (-7)^2 – 4\cdot 1 \cdot (-8) = 81 > 0$$Δ=(−7)2−4⋅1⋅(−8)=81>0 $$x_1 = 8,\qquad x_2 = -1$$x1​=8,x2​=−1

Chú ý:

Nếu $a$a và $c$c trái dấu (tức là $ac < 0$ac<0) thì $\Delta > 0$Δ>0.
→ Phương trình chắc chắn có hai nghiệm phân biệt.

---

4. Công thức nghiệm thu gọn

Nếu $b = 2b’$b=2b′ thì đặt:$$\Delta’ = b’^2 – ac$$Δ′=b′2−ac

• Nếu $\Delta’ > 0$Δ′>0:

$$x_1 = \frac{-b’ + \sqrt{\Delta’}}{a}, \qquad x_2 = \frac{-b’ – \sqrt{\Delta’}}{a}$$x1​=a−b′+Δ′​​,x2​=a−b′−Δ′​​

• Nếu $\Delta’ = 0$Δ′=0: $x = -\frac{b’}{a}$x=−ab′​
• Nếu $\Delta’ < 0$Δ′<0: vô nghiệm.

Ví dụ:
Giải $7x^2 – 12x + 5 = 0$7×2−12x+5=0$$a = 7,\ b’ = -6,\ c = 5$$a=7, b′=−6, c=5 $$\Delta’ = (-6)^2 – 7 \cdot 5 = 1 > 0$$Δ′=(−6)2−7⋅5=1>0 $$x_1 = 1,\quad x_2 = \frac{5}{7}$$x1​=1,x2​=75​

---

5. Tìm nghiệm bằng máy tính cầm tay

Bước 1. Chọn chế độ giải phương trình

Máy Casio fx-570VN PLUS:
MODE → 5 → 3 (Equation → bậc 2)

Máy Casio fx-580VNX:
MENU → 9 (Equation/Func) → 2 (Polynomial Degree) → 2 (bậc hai)

Bước 2. Nhập hệ số a,b,ca, b, ca,b,c

Nhập lần lượt theo yêu cầu của máy.

• Nếu phương trình có nghiệm kép → máy hiện x1 = x2.
• Nếu vô nghiệm → máy báo không có nghiệm thực.