1. Định lí Viète

Nếu$$x_1,\; x_2$$x1​,x2​

là hai nghiệm của phương trình$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \ne 0)$$ax2+bx+c=0(a=0)

thì:$$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}$$⎩⎨⎧​x1​+x2​=−ab​x1​x2​=ac​​

Ví dụ:
Phương trình$$2x^2 + 11x + 7 = 0$$2×2+11x+7=0

có:$$\Delta = 11^2 – 4\cdot2\cdot7 = 65 > 0$$Δ=112−4⋅2⋅7=65>0

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$x1​,x2​.

Theo định lí Viète:$$x_1 + x_2 = -\dfrac{11}{2}, \qquad x_1x_2 = \dfrac{7}{2}.$$x1​+x2​=−211​,x1​x2​=27​.

---

2. Áp dụng định lí Viète để tính nhẩm nghiệm

Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó

Xét phương trình$$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \ne 0)$$ax2+bx+c=0(a=0)

Trường hợp 1:

Nếu$$a + b + c = 0$$a+b+c=0

thì phương trình có một nghiệm$$x_1 = 1,$$x1​=1,

nghiệm còn lại:$$x_2 = \dfrac{c}{a}.$$x2​=ac​.

Trường hợp 2:

Nếu$$a – b + c = 0$$a−b+c=0

thì phương trình có một nghiệm$$x_1 = -1,$$x1​=−1,

nghiệm còn lại:$$x_2 = -\dfrac{c}{a}.$$x2​=−ac​.

Ví dụ:

1. Phương trình

$$x^2 – 6x + 5 = 0$$x2−6x+5=0

có$$a + b + c = 1 + (-6) + 5 = 0.$$a+b+c=1+(−6)+5=0.

Vậy nghiệm:$$x_1 = 1,\quad x_2 = 5.$$x1​=1,x2​=5.

2. Phương trình

$$5x^2 + 14x + 9 = 0$$5×2+14x+9=0

có$$a – b + c = 5 – 14 + 9 = 0.$$a−b+c=5−14+9=0.

Vậy nghiệm:$$x_1 = -1,\quad x_2 = -\dfrac{9}{5}.$$x1​=−1,x2​=−59​.

---

3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng S và tích P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:$$x^2 – Sx + P = 0.$$x2−Sx+P=0.

Điều kiện có hai số như vậy:$$S^2 – 4P \ge 0.$$S2−4P≥0.

Ví dụ:
Hai số có tổng $9$9, tích $20$20 là nghiệm của phương trình:$$x^2 – 9x + 20 = 0.$$x2−9x+20=0.

Ta có:$$\Delta = (-9)^2 – 4\cdot1\cdot20 = 1,\quad \sqrt{\Delta} = 1.$$Δ=(−9)2−4⋅1⋅20=1,Δ​=1.

Suy ra nghiệm:$$x_1 = \dfrac{9 – 1}{2} = 4,\qquad x_2 = \dfrac{9 + 1}{2} = 5.$$x1​=29−1​=4,x2​=29+1​=5.

Vậy hai số cần tìm là 4 và 5.