Nhắc lại thứ tự trên tập số thực
Trên tập số thực, với hai số a và b có ba trường hợp sau:
a) Số a bằng số b, kí hiệu:
a = b
b) Số a lớn hơn số b, kí hiệu:
a > b
c) Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu:
a < b
Khi biểu diễn số thực trên trục số, điểm biểu diễn số bé hơn nằm trước điểm biểu diễn số lớn hơn.
Số a lớn hơn hoặc bằng số b, tức là a > b hoặc a = b, kí hiệu là:
a ≥ b
Số a nhỏ hơn hoặc bằng số b, tức là a < b hoặc a = b, kí hiệu là:
a ≤ b
Khái niệm bất đẳng thức
Hệ thức dạng
a > b (hoặc a < b, a ≥ b, a ≤ b)
được gọi là bất đẳng thức.
a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.
Chú ý
Hai bất đẳng thức sau được gọi là cùng chiều:
1 < 2 và −3 < −2
hoặc
6 > 3 và 8 > 5
Hai bất đẳng thức sau được gọi là ngược chiều:
1 < 2 và −2 > −3
hoặc
6 > 3 và 5 < 8
Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức
- Nếu a < b và b < c thì a < c
- Nếu a > b và b > c thì a > c
- Nếu a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c
- Nếu a ≥ b và b ≥ c thì a ≥ c
Ví dụ:
Vì
2024/2023 = 1 + 1/2023 > 1
và
2021/2022 = 1 − 1/2022 < 1
nên
2024/2023 > 2021/2022.
2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng
Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều.
- Nếu a < b thì a + c < b + c
- Nếu a > b thì a + c > b + c
- Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c
- Nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c
Ví dụ:
Vì 2023 < 2024
nên:
2023 + (−19) < 2024 + (−19)
3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
a) Nhân với số dương
Khi nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức cùng chiều.
Với a, b, c và c > 0:
- Nếu a < b thì ac < bc
- Nếu a > b thì ac > bc
- Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc
- Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc
b) Nhân với số âm
Khi nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được bất đẳng thức ngược chiều.
Với a, b, c và c < 0:
- Nếu a < b thì ac > bc
- Nếu a > b thì ac < bc
- Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc
- Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc
Ví dụ
Vì −7 < −5 và 3 > 0 nên:
3(−7) < 3(−5)
Vì −7 < −5 và −3 < 0 nên:
(−3)(−7) > (−3)(−5)
