1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

Một bất phương trình dạng: $ax + b < 0$ ax+b<0

(hoặc $ax + b > 0;\quad ax + b \le 0;\quad ax + b \ge 0$ ax+b>0;ax+b≤0;ax+b≥0

)

trong đó a, b là các số đã cho và a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

$x^2 – 4 \ge 0$ x2−4≥0: không phải bậc nhất vì $x^2$ x2 là bậc hai.
$3x – 2y < 2$ 3x−2y<2: không phải bất phương trình một ẩn vì chứa hai biến x và y.

Nghiệm của bất phương trình

Số $x_0$ x0 là nghiệm của bất phương trình $A(x) < B(x)$ A(x)<B(x) nếu $A(x_0) < B(x_0)$ A(x0)<B(x0) là mệnh đề đúng.
Giải bất phương trình là tìm tất cả các giá trị x làm cho bất phương trình đúng.

$2x – 10 < 0$ 2x−10<0

vì: $2(-2) – 10 = -4 – 10 = -14 < 0.$ 2(−2)−10=−4−10=−14<0.

$2 \cdot 6 – 10 = 12 – 10 = 2 > 0.$ 2⋅6−10=12−10=2>0.

Xét bất phương trình: $ax + b < 0 \quad (a \ne 0)$ ax+b<0(a=0)

Ta biến đổi: $ax + b < 0 \quad \Longleftrightarrow \quad ax < -b$ ax+b<0⟺ax<−b

Khi chia hai vế cho số dương a, chiều bất phương trình giữ nguyên: $x < -\frac{b}{a}$ x<−ab

Khi chia hai vế cho số âm a, chiều bất phương trình đổi chiều: $x > -\frac{b}{a}$ x>−ab

Các bất phương trình $ax + b > 0;\quad ax + b \le 0;\quad ax + b \ge 0$ ax+b>0;ax+b≤0;ax+b≥0

được giải tương tự.

Giải bất phương trình: $-2x – 4 > 0$ −2x−4>0

Lời giải: $-2x – 4 > 0$ −2x−4>0 $-2x > 4$ −2x>4

Chia cả hai vế cho $-2$ −2 (số âm) → đổi chiều: $x < -2$ x<−2

Vậy nghiệm của bất phương trình là: $x < -2.$ x<−2.

Các bất phương trình một ẩn có thể đưa về dạng: $ax + b < 0,\quad ax + b > 0,\quad ax + b \le 0,\quad ax + b \ge 0$ ax+b<0,ax+b>0,ax+b≤0,ax+b≥0

thì đều giải theo cách đã nêu.