1. Căn bậc hai

Khái niệm căn bậc hai

Căn bậc hai của số thực không âm $a$a là số thực $x$x sao cho:$$x^2 = a.$$x2=a.

Nhận xét

• Số âm không có căn bậc hai.
• Số 0 có một căn bậc hai duy nhất là 0.
• Số dương $a$a có đúng hai căn bậc hai đối nhau là: $$\sqrt{a} \quad \text{(căn bậc hai số học)}, \qquad \text{và} \qquad -\sqrt{a}.$$a​(ca˘n bậc hai soˆˊ học),vaˋ−a​.

Ví dụ

• Vì $\sqrt{81} = 9$81​=9, nên 81 có hai căn bậc hai là 9 và –9.
• Căn bậc hai số học của 121 là: $$\sqrt{121} = 11.$$121​=11.

---

Tính căn bậc hai bằng máy tính cầm tay

Để tính căn bậc hai của một số $a > 0$a>0, chỉ cần tính $\sqrt{a}$a​ bằng nút căn bậc hai trên MTCT.

Ví dụ

Nhập lần lượt các phím để tính:$$\sqrt{11,1} \approx 3,33.$$11,1​≈3,33.

Vậy căn bậc hai của 11,1 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là 3,33 và –3,33.

---

Tính chất của căn bậc hai

$$\sqrt{a^2} = |a|$$a2​=∣a∣

với mọi số thực $a$a.

Ví dụ

$$\sqrt{(1 + \sqrt{2})^2} = |1 + \sqrt{2}| = 1 + \sqrt{2}.$$(1+2​)2​=∣1+2​∣=1+2​. $$\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3.$$(−3)2​=∣−3∣=3.

---

2. Căn thức bậc hai

Khái niệm căn thức bậc hai

Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng:$$\sqrt{A},$$A​,

trong đó $A$A là một biểu thức đại số.
$A$A được gọi là biểu thức lấy căn (hoặc biểu thức dưới dấu căn).

Ví dụ

$$\sqrt{2x – 1}, \qquad \sqrt{-\tfrac{1}{3}x + 2}$$2x−1​,−31​x+2​

đều là các căn thức bậc hai.

---

Điều kiện xác định của căn thức bậc hai

Căn thức $\sqrt{A}$A​ xác định khi:$$A \ge 0.$$A≥0.

Ta gọi $A \ge 0$A≥0 là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của căn thức.

Ví dụ

1. Căn thức $\sqrt{2x + 1}$2x+1​ xác định khi: $$2x + 1 \ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \ge -\tfrac{1}{2}.$$2x+1≥0⟺x≥−21​.
2. Căn thức $\sqrt{-\tfrac{1}{3}x + 2}$−31​x+2​ xác định khi: $$-\tfrac{1}{3}x + 2 \ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \le 6.$$−31​x+2≥0⟺x≤6.

---

Hằng đẳng thức quan trọng

$$\sqrt{A^2} = |A|.$$A2​=∣A∣.

Với $A \ge 0$A≥0 thì:

• $\sqrt{A} \ge 0$A​≥0
• $(\sqrt{A})^2 = A$(A​)2=A
• $\sqrt{A^2} = |A|$A2​=∣A∣

Ví dụ

Với $x < 0$x<0, ta có $1 – x > 0$1−x>0.
Do đó:$$(\sqrt{1 – x})^2 = 1 – x.$$