1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Nếu $a$a là một số và $b$b là một số không âm, thì:$$\sqrt{a^2 \cdot b} = |a|\sqrt{b}.$$a2⋅b​=∣a∣b​.

Ví dụ

$$\sqrt{45} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = 3\sqrt{5}.$$45​=32⋅5​=35​.

$$\sqrt{243a} = \sqrt{9^2 \cdot 3a} = 9\sqrt{3a}.$$243a​=92⋅3a​=93a​.

Trường hợp biểu thức dưới căn có mẫu

Ta thường khử mẫu trong căn rồi đưa thừa số ra ngoài.

Ví dụ:$$\sqrt{\frac{4}{7}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 7}{7^2}} = \sqrt{\left(\frac{2}{7}\right)^2 \cdot 7} = \frac{2}{7}\sqrt{7}.$$74​​=724⋅7​​=(72​)2⋅7​=72​7​.

---

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Phép đưa thừa số vào trong dấu căn

Nếu a,b≥0a, b \ge 0a,b≥0

$$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}.$$ab​=a2b​.

Nếu a<0,b≥0a < 0, b \ge 0a<0,b≥0

$$a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b}.$$ab​=−a2b​.

Ví dụ

$$5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{50}.$$52​=52⋅2​=50​.

Với $a \ge 0$a≥0:$$-2\sqrt{a} = -\sqrt{2^2 \cdot a} = -\sqrt{4a}.$$−2a​=−22⋅a​=−4a​.

---

3. Trục căn thức ở mẫu

Cách trục căn thức ở mẫu

a) Mẫu có dạng B\sqrt{B}B​

Với $A, B > 0$A,B>0:$$\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A\sqrt{B}}{B}.$$B​A​=BAB​​.

b) Mẫu dạng A±B\sqrt{A} \pm BA​±B

Với $A \ge 0, A \ne B^2$A≥0,A=B2:$$\frac{C}{\sqrt{A} + B} = \frac{C(\sqrt{A} – B)}{A – B^2},$$A​+BC​=A−B2C(A​−B)​, $$\frac{C}{\sqrt{A} – B} = \frac{C(\sqrt{A} + B)}{A – B^2}.$$A​−BC​=A−B2C(A​+B)​.

c) Mẫu dạng A±B\sqrt{A} \pm \sqrt{B}A​±B​

Với $A \ge 0, B \ge 0, A \ne B$A≥0,B≥0,A=B:$$\frac{C}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{C(\sqrt{A} – \sqrt{B})}{A – B},$$A​+B​C​=A−BC(A​−B​)​, $$\frac{C}{\sqrt{A} – \sqrt{B}} = \frac{C(\sqrt{A} + \sqrt{B})}{A – B}.$$A​−B​C​=A−BC(A​+B​)​.

Ví dụ

$$\frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{3(\sqrt{5})^2} = \frac{2\sqrt{5}}{15}.$$35​2​=3(5​)225​​=1525​​.

$$\frac{a}{3 – 2\sqrt{2}} = \frac{a(3 + 2\sqrt{2})}{3^2 – (2\sqrt{2})^2} = \frac{a(3 + 2\sqrt{2})}{9 – 8} = a(3 + 2\sqrt{2}).$$3−22​a​=32−(22​)2a(3+22​)​=9−8a(3+22​)​=a(3+22​).

---

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Khi rút gọn, ta phối hợp:

• phép cộng, trừ, nhân, chia
• đưa thừa số ra/vào dấu căn
• khử mẫu trong căn
• trục căn thức ở mẫu

Ví dụ 1

$$A = 2\sqrt{3} – \sqrt{75} + \sqrt{(1 – \sqrt{3})^2}$$A=23​−75​+(1−3​)2​ $$= 2\sqrt{3} – \sqrt{3 \cdot 5^2} + |1 – \sqrt{3}|$$=23​−3⋅52​+∣1−3​∣ $$= 2\sqrt{3} – 5\sqrt{3} + (\sqrt{3} – 1) = -1 – 2\sqrt{3}.$$=23​−53​+(3​−1)=−1−23​.

Ví dụ 2

$$B = x\sqrt{x} – x^2 – x\sqrt{x} + 1$$B=xx​−x2−xx​+1 $$= -x^2 + 1 = -(x^2 – 1) = -(x – 1)(x + 1)$$=−x2+1=−(x2−1)=−(x−1)(x+1) $$= (\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)(-1)$$=(x​−1)(x​+1)(−1)

Rút gọn dần:$$B = x.$$B=x.